Mobile Manipulator 101 :: Pseudo-Inverse and Singularity-Robust Inverse

참고한 모든 Paper는 아래 링크에 있습니다. 도움이 되셨다면 Star를 눌러주세요 ㅎ

​https://github.com/benthebear93/awesome-mobile-manipulator

GitHub - benthebear93/awesome-mobile-manipulator: Reading List and related repos for mobile manipulator

해당 글은 아래 논문을 정리한 내용입니다.

참고 논문 : Kinematic Control of Redundant Mobile Manipulators by Mashali, Mustafa

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모바일 매니퓰레이터에 가장 많이 사용되는 redundancy resolution algoritm들은 컨트롤러를 2가지 공간에서 디자인할 수 있게 해준다. 2가지 공간은 Operational space와 Null space이다. Operational space에서는 우리가 흔히 알고 있는 EE의 실제값과 Trajectory상의 오차를 줄이는 컨트롤러가 만들어지고, null space에서는 EE의 상태를 바꾸지 않고 특정 기준(상태)를 변경하는 최적화 작업의 컨트롤러가 만들어진다.

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Pseudo-Inverse

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수도 인버스의 경우 우리가 사용하려는 시스템의 자유도와 Operational Space상의 자유도가 맞지 않는 경우, 특히 reduandant system인 경우에 사용하는 방식이다. reduandant system은 정방행렬이 아니기 때문에 역행렬을 구할 수 없는데, 이를 해결하기 위한 방법이 수도 인버스가 된다. 수도 인버스에 대한 내용은 이전에 내가 정리한 블로그 글을 참고하면 더 알 수 있다.

https://blog.naver.com/nswve/222512314038

https://blog.naver.com/nswve/222512962313

수도 인버스의 기본적인 형태는 아래와 같이 표현 된다.

수도 인버스를 사용하여 Global to End effector의 속도를 조인트 속도와의 관계로 나타내면

여기서 조인트 속도의 값은 조인트 속도와 EE속도의 관계식의 Least Norm 해가 된다. 즉 조인트 속도 값은 조인트 속도의 Norm을 최소화 하는 값이 된다. 특히 redundant 형태의 식은 exact 해가 없기 때문에 error의 Euclidean norm값을 최소호 하는 least sqaure 해를 구하게 된다. 이때 조인트 속도의 Norm 값을 최소화 하는 형태이기 때문에 이를 표현하면 아래와 같이 된다.

Singularity-Robust Inverse(SR-Inverse)

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싱귤러 자세에서 강건한 역행렬 형태를 계산하는 방식이다. 다만, 이를 가능하게 하는 방법은 Task space에서의 오차를 기존보다는 크게 가져가고 싱귤러 근처에서 속도를 낮추는 방식으로 진행된다. 거기에 SR 역행렬 방식은 단순히 EE의 위치를 맞추는 게 아닌 Subtask를 redundancy를 사용하여 실행할 수 있도록 해준다, 특히 이때 싱귤러에 대한 부분이 자코비안 역행렬에서 조작이 가능하도록 해준다.

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당연하게도 Manipulability를 측정하여 현재 모바일 매니퓰레이터가 얼마나 싱귤러에 멀리 있나 확인하게 된다.

SR-Inverse의 자코비안 형태는

이때 K 상수 값은 scale factor로 에러를 최소화 하는 데 중요한 요소가 된다. 이 상수는 모바일 매니퓰레이터의 manipulability를 측정하여 매 순간 업데이트 되는 형태이다.

이때 w_0 값은 싱귤러 경계가 시작 되는 지점에서의 manipulability 측정 경계값이 되고 k_0의 경우 싱귤러의 scale factor가 된다. 이를 통해 기본적인 조인트 속도 식은 아래와 같이 변하게 된다.