[Null space control] Nullspace에 대하여

Null space control을 다루기 전에 먼저 Null space 에 대해서 이야기해보자.

기존에 작성해둔 Null space 설명을 가져왔다.

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"널 스페이스는 컬럼 스페이스와는 전혀 다른 Subspace이다.

선형 방정식 AX=b에서 b가 zero vector일때 즉 AX=0일때 모든 가능한 해 X에 대한 집합이다.

특정 행렬A와 X가 곱해졌는데 그게 0이 나올때 X의 집합, x가 이루는 공간을 Null space라고 한다.

3차원 공간에서 Null space는 직선으로 표현된다고 한다."

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쉽게 말해 AX = 0 일 때 가능한 모든 해 X의 집합이 Null space 라고 볼 수 있다.

직관적인 이해를 위해 아래 영상을 참고하자.

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https://www.youtube.com/watch?v=uQhTuRlWMxw

 

AX=V라는 식에 대해서 먼저 직관적으로 이해할 필요가 있다.

X벡터와 V 벡터 사이에서 A라는 행렬이 서로를 선형으로 매핑을 해주고 있다는 걸 알 수 있다.

쉽게 말해, 2개의 원점이 같은 벡터가 있는데 여기에 A라는 linear operator(linear mapping matrix)를 곱해주니 X 벡터가 Transforme 되어 V 벡터와 같아진다는 의미이다. 여기서 linear operator는 특정 차원 자체를 늘리고, 줄이고 한다. 실제로 2차원 공간을 표현하는 단위 벡터에 linear operator를 곱할 경우 단위벡터 자체가 찌그러지는 모습을 볼 수 있다.

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공간이 찌그러지는 경우는 2가지로 볼 수 있다. 첫번째는 단순히 공간의 형태가 바뀌는 것. 두번째는 공간 자체가 줄어드는 것.

이 두가지 경우를 우리는 A행렬의 행렬식 혹은 판별식 (determinemt)으로 판단해왔다. 행렬식은 0인지 0이 아닌지가 중요했는데,

단순히 공간이 바뀌는 경우에는 행렬식이 0이 아닌 경우, 공간 자체가 줄어드는 경우는 행렬식이 0인 경우이다.

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여기서 중요한 개념을 설명하고 가자.

A행렬이 linear operator로 작용하여 나온 결과의 차원의 수에 대한 단어가 바로 "Rank"이다.

따라서 3x3 행렬의 A행렬은 Rank가 3,2,1이 나올 수 있고 2x2행렬은 Rank 2,1만 나올 수 있다.

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이런 A행렬이 곱해져 나올 수 있는 결과들의 집합이 바로 column space가 된다.

A 행렬의 열행렬은 곱해지는 벡터가 어떻게 변할지 알려준다. 즉 열행렬의 span 자체가 column space가 된다.

[0 0] 벡터도 column space에 속한다. column space의 숫자와 Rank의 숫자가 같을 경우 Full rank라고 한다.

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Full rank 일 경우 모든 공간이 변하게 되기 때문에, 오직 [0 0] 벡터만이 [0 0]벡터와 같아진다.

근데 만약 Full rank가 아니고 공간의 차원이 줄어들 경우 원점에서 시작하는 다양한 벡터들이 [0 0]과 같아진다.

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이렇게 차원이 줄어들어서 [0 0] 벡터와 같아지는 벡터들의 합을 Null space라고 한다.

AX =V일 경우 V가 [0 0] 벡터일 경우에 Null space는 가능한 모든 벡터들을 가지고 있게 된다.

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